Всего: 215 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Вокруг треугольника ABC с углом ∠B = 60° описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке B1. На лучах AB и CB отметили точки A0 и C0 соответственно так, что AA0 = AC = CC0. Докажите, что точки A0, C0, B1 лежат на одной прямой.
то получим:
т. е. точка A0 расположена внутри ∠AB1C, см. рис. слева. Аналогично треугольник C0CB1 равнобедренный, и 
Сумма этих углов равна:
получаем:
Вокруг треугольника ABC с углом ∠B = 60° описана окружность. Касательные к окружности, проведённые в точках A и C, пересекаются в точке B1. На лучах AB и CB отметили точки A0 и C0 соответственно так, что AA0 = AC = CC0. Докажите, что точки A0, C0, B1 лежат на одной прямой.
Докажем, что 
не зависит от x и y. 
Так как 
получаем:
Что и требовалось доказать.На плоскости дан отрезок АВ и на нём произвольная точка М. На отрезках АМ и МВ как на сторонах построены квадраты AMCD и MBEF , лежащие по одну сторону от АВ, и N — точка пересечения прямых AF и BC. Докажите, что при любом положении точки М на отрезке АВ каждая прямая МN проходит через некоторую точку S, общую для всех таких прямых.
В квадрат АВСD вписана окружность, касающаяся его сторон АВ, ВС, СD, DA в точках P, Q, R и S соответственно. На отрезках АР и АS взяты точки M и N так, что отрезок MN касается вписанной окружности. Докажите, что отрезки МС и NR параллельны.
и 
По свойству касательных из одной точки отсюда следует, что длина MN равна их сумме, то есть 
Теорема Пифагора для треугольника AMN, даёт 
откуда 
Последнее равенство запишем как 
откуда сразу следует подобие прямоугольных треугольников BMC и DRN, влекущее параллельность их гипотенуз МС и NR.
и 
Критерий описанности четырехугольника 
это равенство равносильно 
На продолжении диаметра АВ полукруга за точку В взята произвольная точка С, через которую проведена касательная к этому полукругу, касающаяся его в точке Е. Пусть биссектриса угла ВСЕ пересекает хорды АЕ и ВЕ полукруга в точках К и М соответственно. Докажите, что треугольник КЕМ равнобедренный.
Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке X. Прямая AX пересекает окружность S1 в точке A, а окружность S2 — в точке C. Прямая BX пересекает окружность S1 в точке B, а окружность S2 — в точке D. Окружность S3 касается прямой BD в точке B и пересекает луч XA в точках A и P. Докажите, что точки P, B, C и D лежат на одной окружности.
равна, с одной стороны, 
а с другой — 
откуда 
Градусные меры дуг XA (окружности 
и XC (окружности 
совпадают, так как равны удвоенному углу между общей касательной и прямой XA, содержащей обе хорды XA и XC. Отсюда 
равно отношению радиусов окружностей 
и 
Тому же самому отношению равно и 
откуда 
получаем 
Из этого условия как раз и следует, что точки P, B, C и D лежат на одной окружности.Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке M. Прямая MC пересекает окружность S1 в точке A, а окружность S2 — в точке C. Прямая MD пересекает окружность S1 в точке B, а окружность S2 — в точке D. Окружность S3 касается прямой AC в точке C и пересекает луч MD в точках K и D. Докажите, что точки K, B, A и C лежат на одной окружности.
а с другой — 
откуда 
(окружности 
совпадают, так как равны удвоенному углу между обшей касательной и прямой MA, содержащей обе хорды MA и MC. Отсюда 
равно отношению радиусов окружностей 
откуда 
получаем 
Из этого условия как раз и следует, что точки K, B, A и C лежат на одной окружности.
Прямоугольные треугольники МNK и НСD подобны, так как у них 
(утлы со взаимно перпендикулярными сторонами). Поэтому 
и площадь четырехугольника равна 50, трапеция вырождается в квадрат с площадью, конечно, равной 100. Это должно быть отражено в решении. 
откуда BD = 3DP.
и 
окружностей 
и 
равно 5r, а их радиусы равны соответственно r и 7r. Хорда окружности 
и делится точкой касания в отношении 1:6. Найдите длину этой хорды.
—
точка M — точка касания этой окружности с хордой AB. Из центра 
второй окружности 
проведем 
где точка K — середина хорды AB. Опустим 
и рассмотрим три различных случая расположения хорды 
и центров 
лежат в одной полуплоскости относительно прямой 
(рис. 4). Так как 
то L лежит на отрезке 
Пусть 
тогда 
имеем 
имеем 
откуда получаем, что 
получаем уравнение 
Решая его, находим 
Следовательно, 
(в частности, может быть 
то есть AB — диаметр). Следовательно, L лежит на продолжении отрезка 
при этом 
Выражения для 
KL через x и r сохраняются, а уравнения для нахождения x примет вид 
Решая его, находим 
лежит на продолжение отрезка 
KL через x и r сохраняются, а уравнения для нахождения x примет вид 
и решений не имеет.
окружностей 
в точках М и N касается окружности 
Найдите длину хорды MN.
или 6r.